Народився 8 лютого 1913 р. в селищі Саврань (нині Одеська обл., Україна) у багатодітній родині кушніра. Ще у ранньому дитинстві залишився без батьків. Кілька років був безпритульним, жебракував, жив у дитячих будинках. Через це жодного дня не ходив до школи, не отримав навіть початкової шкільної освіти. Пізніше цей факт буде визнано унікальним, адже Юхим Березовський обіймав серйозну військову посаду. У 12 років потрапив до м. Костянтинівка (Донецька обл., Україна), де його під опіку взяла організація для безпритульних та відправила працювати на місцевий пляшковий завод. Паралельно з роботою на заводі почав вчитися грамоті, а також закінчив фабрично-заводське училище. У 1935 р. був призваний на строкову службу до лав Червоної армії, яку до 1937 р. проходив в артилерійському полку на Донеччині. Після демобілізації почав працювати монтером на станції Ясинувата Донецької залізниці та одночасно заочно навчався в Московському залізничному технікумі.
Після початку радянсько-німецької війни, незважаючи на службову «бронь» від призову, пішов добровольцем. Воював на Брянському, Воронезькому, 1-му та 2-му Українських фронтах. У лютому 1942 р. воював у Підмосков’ї. Був командиром зв’язку дивізіону артилерійського полку. 31 жовтня 1942 р. за забезпечення безперебійного зв’язку під час бойових дій був нагороджений медаллю «За відвагу». Брав участь у Сталінградській битві та розгромі оточеного під Сталінградом угруповання німецьких військ; у битві на Курській дузі, де вже був командиром батареї. У період із 7 до 12 липня 1943 р., відбиваючи атаки противника, батарея Ю. Березовського знищила 12 танків ворога, серед них – 7 «тигрів». За цей бій Ю. Березовський був нагороджений орденом Червоного Прапора.
Восени 1943 р. брав участь у боях за звільнення Києва. Особливо відзначився під час форсування р. Дніпро. 28 вересня вогнем своєї батареї зі східного берега річки підтримував передові загони, що розширювали захоплений на іншому березі плацдарм біля с. Лютіж (Вишгородський р-н Київської обл., Україна). Коли передові загони закріпилися на західному березі Дніпра, Ю. Березовський з власної ініціативи переправився річкою для коригування артилерійського вогню. Після заняття с. Лютіж та розширення плацдарму під сильним артилерійсько-мінометним вогнем противника на поромі, зробленому з рибальських човнів, переправив на західний берег свою батарею, яка продовжила відбивати контратаки гітлерівців на плацдармі. У ході відбиття ворожих атак було завдано значної шкоди противнику: знищено до 250 чол. особового складу, 2 гармати, 5 кулеметів, подавлено вогонь 3 артилерійських і 4 мінометних батарей, підбито 3 танки. Указом Президії Верховної Ради СРСР від 10 січня 1944 р. «за зразкове виконання бойових завдань командування на фронті боротьби з німецькими загарбниками та виявлені при цьому відвагу та геройство» старшому лейтенанту Юхиму Березовському було присвоєно звання Героя Радянського Союзу з врученням медалі «Золота Зірка» та ордена Леніна.
За сміливі та рішучі дії в боях під населеним пунктом Цибулів (Черкаська обл., Україна) 25–26 січня 1944 р., у результаті яких противник поніс значні втрати живої сили та техніки, 24 лютого 1944 р. Ю. Березовський був нагороджений орденом Олександра Невського.
За час наступальних дій у Карпатах з 10 березня до 16 квітня 1944 р. вогнем дивізіону Ю. Березовського було знищено 150 солдатів та офіцерів, 1 гармата, 1 ручний та 1 станковий кулемет з обслугою. Відбито 4 контратаки противника, розбито 4 залізничні вагони з військовим вантажем, 2 автомашини та 9 возів. За ці бойові дії 6 травня 1944 р. Юхим Березовський був нагороджений орденом Червоної Зірки.
Воював у Карпатах, Румунії, Австрії, 9 травня 1945 р. зустрів у Празі. За війну був поранений 5 разів, кілька разів контужений. Завершив війну на посаді командира дивізіону 692-го артилерійського полку, у звані старшого лейтенанта.
Учасник Параду Перемоги 1945 р. в Москві. До травня 1946 р. служив у групі радянських військ у Німеччині. У травні–червні 1946 р. навчався в Ленінградській вищій офіцерській артилерійській школі. Того ж року вирішив повернутися до мирної праці, тому переїхав і став працювати на Донецькій залізниці. 1949 р. закінчив Ленінградський інститут інженерів залізничного транспорту, працював на залізниці в Бєлгороді. Протягом 1951–1971 рр. керував Лозівською дистанцією сигналізації та зв’язку. Переїхав до Москви і в 1971–1987 рр. працював заступником начальника Всесоюзного тресту електротехнічних заводів Міністерства шляхів сполучення СРСР. Помер 16 грудня 2011 р. в Москві, похований на Бабушкінському цвинтарі.
Нагороди:
медаль «Золота Зірка» Героя Радянського Союзу (10.01.1944)
орден Леніна (10.01.1944)
орден Червоного Прапора (19.01.1945)
орден Олександра Невського (24.02.1944)
орден Вітчизняної війни І ступеня (15.10.1943)
орден Червоної Зірки (06.05.1944)
медаль «За відвагу» (31.10.1942)