Народився 18 (за н. ст. – 31) січня 1896 р. в с. Шилово Дубосищенської вол. Єльнинського пов. Смоленської губ. (нині Глинківський р-н Смоленської обл., РФ). Початкову освіту здобув у сільській школі. У серпні 1915 р. призваний до лав Російської імператорської армії та направлений на навчання до 5-ї Московської школи з підготовки прапорщиків піхоти. З червня 1916 р. – начальник кулеметної команди.
З жовтня 1919 р. Антон Мельников – помічник командира 1-го запасного стрілецького полку зі стройової частини. З грудня 1919 р. – помічник начальника відділу постачання управління запасних військ Західного фронту. З жовтня 1923 р. – начальник кулеметної команди 2-го та 16-го стрілецьких полків 56-ї окремої стрілецької бригади Західного фронту.
З листопада 1925 р. був командиром роти 79-го та 87-го стрілецьких полків 27-ї та 29-ї стрілецьких бригад Білоруського військового округу. З жовтня 1926 р. – старший помічник начальника оперативної частини 29-ї стрілецької дивізії. У 1931 р. закінчив Стрілецько-тактичні курси вдосконалення комскладу РСЧА ім. III Комінтерну (КУКС «Постріл»), у 1932 р. – Ленінградські бронетанкові курси вдосконалення командного складу.
З травня 1932 р. А. Мельников – начальник 1-ї частини 64-ї стрілецької дивізії. Із січня 1935 р. – командир батальйону Саратовської бронетанкової школи. Командував окремим танковим батальйоном. З жовтня 1939 р. – командир 2-го окремого легкотанкового полку.
З 19 вересня 1941 р. був заступником армійського інтенданта 55-ї армії. Протягом травня 1942 р. – вересня 1943 р. полковник Мельников командував 115-ю танковою бригадою. З вересня 1943 р. до квітня 1944 р. командував бронетанковими та механізованими військами 46-ї армії.
У 1944 р. був призначений заступником начальника Павлоградського танкового табору з бойової підготовки. З 29 травня 1945 р. – заступник командира 6-го гвардійського танкового корпусу зі стройової частини.
Після Другої світової війни А. Мельников був заступником командира 9-ї гвардійської механізованої дивізії з тилу, командиром 22-ї механізованої дивізії та 25-го кадрового танкового полку. Протягом 1949–1950 рр. – слухач Вищих академічних курсів при Військовій академії бронетанкових військ ім. Й. В. Сталіна.
З 12 травня 1950 р. генерал-майор Мельников став командиром 29-ї танкової дивізії. З 13 квітня 1954 р. перебував у розпорядженні Головного управління кадрів.
Звільнений у запас 1 червня 1954 р. за станом здоров’я. Помер 24 жовтня 1969 р. Похований у Москві на Кузьминському цвинтарі.
Нагороди:
два ордени Леніна (26.10.1943, 23.02.1945)
чотири ордени Червоного Прапора (04.02.1943, 06.10.1943, 03.11.1944, 20.06.1949)
медаль «За бойові заслуги» (1940)
медаль «За оборону Сталінграда» (22.12.1942)
медаль «За перемогу над Німеччиною у Великій Вітчизняній війні 1941–1945 рр.» (09.05.1945)
медаль «За визволення Праги» (1945)
Чехословацький Військовий хрест (1939)