Народився 25 квітня (за н. ст. 8 травня) 1912 р. в Санкт-Петербурзі (нині РФ), у сім’ї службовця. Закінчив 6 класів та школу фабрично-заводського учнівства. Працював токарем на заводі «Більшовик». З 1931 р. служив у Військово-морському флоті. У 1936 р. закінчив Військово-морське училище ім. М. В. Фрунзе. Отримав призначення до Тихоокеанського флоту, де до травня 1940 р. обіймав посади командира торпедного катера і ланки торпедних катерів.
У березні 1940 р. А. Свердлов був призначений командиром ланки в бригаду торпедних катерів Червонопрапорного Балтійського флоту, а в січні 1942 р. – командиром загону торпедних катерів. Бійці А. Свердлова виконували одразу кілька завдань: несли дозорну службу, організовували мінні постановки, відстежували та ліквідовували кораблі супротивника.
У червні 1944 р. Свердлов був представлений до звання Героя Радянського Союзу. У поданні записано: «За потоплення 7 кораблів супротивника загальною водотоннажністю 7 170 тон Військова рада Червонопрапорного Балтійського флоту клопотає про присвоєння капітан-лейтенанту Свердлову Абраму Григоровичу звання Героя Радянського Союзу». Указом Президії Верховної Ради СРСР від 22 липня 1944 р. за «мужність і героїзм, проявлені у боротьбі з німецько-фашистськими загарбниками», капітан-лейтенанту Свердлову Абраму Григоровичу присвоєно звання Героя Радянського Союзу з врученням ордена Леніна і медалі «Золота Зірка» (№ 4026).
У липні 1944 р. Абрам Свердлов командував групою торпедних катерів, які мали перекрити доступ кораблям противника у Виборзьку затоку. Протягом двох днів катери відбивали спроби ворога прорватися до островів і потопили 8 кораблів супротивника. До кінця Другої світової війни катери загону Свердлова брали активну участь у бойовій діяльності флоту.
Звільнений у запас у званні капітана 1-го рангу. Проживав у Ленінграді. У 1951–1963 pp. був керівником факультету мінно-торпедної зброї Вищого військово-морського училища інженерів зброї. Помер 2 квітня 1991 р. Похований на цвинтарі Санкт-Петербурзького крематорію.
Меморизація:
Ім’я Г. Свердлова увічнено на меморіальній дошці з іменами Героїв Радянського Союзу бригади морських торпедних катерів Балтійського флоту, що встановлена на Алеї Слави в Кронштадті.
Нагороди:
медаль «Золота Зірка» Героя Радянського Союзу (22.07.1944)
два ордени Леніна (22.07.1944, 30.12.1956)
три ордени Червоного Прапора (16.12.1941, 21.07.1944, 27.12.1951)
орден Ушакова ІІ ступеня (26.06.1944)
два ордени Вітчизняної війни І ступеня (18.11.1943)
орден Червоної Зірки (05.11.1946)
медаль «За бойові заслуги» (03.11.1944)